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LIGNES ET SURFACES

général la surface suivant une courbe à double courbure, aux différens points de laquelle menant des rayons, ces rayons seront les élémens rectilignes d’une certaine surface conique ayant même centre que la sphère. Mais, si l’on prend le rayon de la sphère de telle manière que tous ces élémens se confondent en une seule droite, cette droite indiquera, par sa direction celle de l’un des diamètres principaux, et le rayon qui remplira cette condition sera la moitié de la longueur de ce diamètre.

Imitons analitiquement ce procédé. D’abord, en posant pour abréger

${\begin{array}{rr}A'^{2}-BC=a,&AA'-B'C'=a',\\B'^{2}-CA=b,&BB'-C'A'=b',\\C'^{2}-AB=c,&CC'-A'B'=c'\,;\\\end{array}}$

$ABC-AA'^{2}-BB'^{2}-CC'^{2}+2A'B'C'=d\,;$

il viendra (2), pour les coordonnées du centre,

$\left.{\begin{aligned}x&={\frac {aA''+c'B''+b'C''}{d}},\\y&={\frac {bB''+a'C''+c'A''}{d}},\\z&={\frac {cC''+b'A''+a'B''}{d}},\\\end{aligned}}\right\}\quad (3)$

En y transportant l’origine, et faisant encore pour abréger

$aA''^{2}+bB''^{2}+cC''^{2}+2a'B''C''+2b'C''A''+2c'A''B''=-dE,$ (4)

l’équation (1) deviendra simplement

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy=E.\qquad$(5)