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RÉSOLUES.

$Ze^{-\int X\operatorname {d} x}=a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x+b.$

On tire de là

$Z=e^{\int X\operatorname {d} x}\left\{b+a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x\right\},$

$Z'=Xe^{\int X\operatorname {d} x}\left\{b+a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x\right\}+a\,;$

d’où

${\frac {Z'}{Z}}=X+{\frac {ae^{-\int X\operatorname {d} x}}{b+a\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x}}\,;$

subtituant enfin cette valeur dans la valeur (1) de $y,$ et posant $b=-Aa,$ il viendra

$y=e^{-\int X\operatorname {d} x}\left\{X-{\frac {e^{-\int X\operatorname {d} x}}{A-\int e^{-\int X\operatorname {d} x}.\operatorname {d} .x}}\right\}.$

Solution du problème de combinaisons proposé à la
page 328 du V.^e volume de ce recueil ;

Par M. Argand.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Problème. Avec $m$ choses, toutes différentes les unes des autres, de combien de manières peut-on faire $n$ parts, avec la faculté de faire des parts nulles ?

Solution 1. Désignons, en général, par $(m,n)$ l’ensemble de toutes les manières de faire, avec $m$ choses, $n$ parts dont aucune ne soit nulle ; et par $Z_{(m,n)}$ le nombre de ces manières.

Soient $c$ le nombre des choses, $p$ celui des parts, $k$ l’une de ces choses à volonté, $R$ l’ensemble des $c-1$ autres choses. On pourra, dans l’ensemble $(c,p),$ distinguer deux espèces de répartitions ; savoir : des répartitions (I) dans lesquelles la chose $k$ formera à elle seule une part, et des répartitions (II) où la chose $k$ se trouvera réunie, dans une même part, avec une ou plusieurs des choses $R.$