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RECHERCHE

on en tire celle de $\Delta ,$ en prenant la somme de leurs produite respectifs par

$\operatorname {Sin} .\beta _{l}\operatorname {Tang} .\gamma '-\operatorname {Sin} .\beta '\operatorname {Tang} .\gamma _{l},\ \operatorname {Cos} .\beta '\operatorname {Tang} .\gamma _{l}-\operatorname {Cos} .\beta _{l}\operatorname {Tang} .\gamma ',\ \operatorname {Sin} .(\beta '-\beta _{l})\,;$

on en tire enfin celle de $\Delta ',$ en prenant la somme de leurs produits respectifs par

$\operatorname {Sin} .\beta _{l}\operatorname {Tang} .\gamma -\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Tang} .\gamma _{l},\ \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Tang} .\gamma _{l}-\operatorname {Cos} .\beta _{l}\operatorname {Tang} .\gamma ,\ \operatorname {Sin} .(\beta -\beta _{l}).$

En posant ensuite, pour abréger,

$\left.{\begin{aligned}&(t'-t)r_{l}\operatorname {Sin} .(\alpha _{l}-\beta _{l})-(t'-t_{l})r\operatorname {Sin} .(\alpha -\beta _{l})+(t-t_{l})r'\operatorname {Sin} .(\alpha '-\beta _{l})=f_{l},\\&(t'-t)r_{l}\operatorname {Sin} .(\alpha _{l}-\beta )-(t'-t_{l})r\operatorname {Sin} .(\alpha -\beta )+(t-t_{l})r'\operatorname {Sin} .(\alpha '-\beta )=f,\\&(t'-t)r_{l}\operatorname {Sin} .(\alpha _{l}-\beta ')-(t'-t_{l})r\operatorname {Sin} .(\alpha -\beta ')+(t-t_{l})r'\operatorname {Sin} .(\alpha '-\beta ')=f'\,;\\\end{aligned}}\right\}$(7)

$\operatorname {Sin} .(\beta '-\beta )\operatorname {Tang} .\gamma _{l}-\operatorname {Sin} .(\beta '-\beta _{l})\operatorname {Tang} .\gamma +\operatorname {Sin} .(\beta -\beta _{l})\operatorname {Tang} .\gamma '=k\,;$(8)

il vient

$\left.{\begin{aligned}&D_{l}={\frac {f\operatorname {Tang} .\gamma '-f'\operatorname {Tang} .\gamma }{(t'-t)k\operatorname {Cos} .\gamma _{l}}},\\&D={\frac {f_{l}\operatorname {Tang} .\gamma '-f'\operatorname {Tang} .\gamma _{l}}{(t'-t_{l})k\operatorname {Cos} .\gamma }},\\&D'={\frac {f_{l}\operatorname {Tang} .\gamma -f\operatorname {Tang} .\gamma _{l}}{(t-t_{l})k\operatorname {Cos} .\gamma '}}.\\\end{aligned}}\right\}$(9)

Ces valeurs étant calculées, les équations (1 et 2) feront connaître les coordonnées des trois lieux de l’astre. Considérant ensuite le plan de l’orbite comme un plan passant par l’origine et par les deux lieux extrêmes, on aura ; pour son équation

$(Z_{l}Y'-Y_{l}Z')x+(X_{l}Z'-Z_{l}X')y+(Y_{l}Z'-X_{l}Y')z=0\,;\quad$(10)

ce plan se trouvera donc entièrement déterminé ; et on achèvera la solution comme il a été dit ci-dessus.

On pourra aussi poser, pour l’époque $t$ :