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RÉSOLUES.

$\left\{b\operatorname {Sin} .(r''+r)-b'\operatorname {Sin} .(r''+r)\right\}x-\left\{a'\operatorname {Sin} .(r''+r)-a\operatorname {Sin} .(r''+r)\right\}y$

$+(ab'-ba')\operatorname {Tang} .r''=0,$

ou, en développant

$\ \left\{(b\operatorname {Sin} .r'-b'\operatorname {Sin} .r)\operatorname {Cos} .r''+(b\operatorname {Cos} .r'-b'\operatorname {Cos} .r)\operatorname {Sin} .r''\right\}x$

$-\left\{(a\operatorname {Sin} .r'-a'\operatorname {Sin} .r)\operatorname {Cos} .r''+(a\operatorname {Cos} .r'-a'\operatorname {Cos} .r)\operatorname {Sin} .r''\right\}y\$(T")

$+(ab'-ba')z\operatorname {Tang} .r''=0.$

D’un autre côté, l’équation du plan qui contient les axes de $C$ et $C'$ est

$(bc'-cb')x+(ca'-ac')y+(ab'-ba')z=0\,;\qquad$(7)

laquelle, à cause de

$c=\operatorname {Cos} .(r''+r),\qquad c'=\operatorname {Cos} .(r''+r'),$

devient, en substituant et développant,

$\ \left\{(b\operatorname {Sin} .r'-b'\operatorname {Sin} .r)\operatorname {Sin} .r''-(b\operatorname {Cos} .r'-b'\operatorname {Cos} .r)\operatorname {Cos} .r''\right\}x$

$-\left\{(a\operatorname {Sin} .r'-a'\operatorname {Sin} .r)\operatorname {Sin} .r''+(a\operatorname {Cos} .r'-a'\operatorname {Cos} .r)\operatorname {Cos} .r''\right\}y\quad$

$-(ab'-ba')z=0.$

Ces deux plans se coupent, en général ; et, toute équation déduite de la combinaison des leurs doit appartenir à une surface qui contient leur intersection : telle sera donc, en particulier celle qu’on obtiendra en ajoutant à l’équation (T) le produit de cette dernière par $\operatorname {Tang} .r''\,;$ cette équation est

$(b\operatorname {Sin} .r'-b'\operatorname {Sin} .r)x=(a\operatorname {Sin} .r'-a'\operatorname {Sin} .r)y\,;\qquad$(8)

c’est donc celle d’un plan qui concourt en une même droite avec les deux autres, et dont conséquemment la ligne d’intersection est déterminée par cette dernière équation et par l’équation (7) ; or, elles ne contiennent, ni l’une ni l’autre, rien de relatif au cône $C'',$ et seraient encore les mêmes si $r''$ était infini ; on a donc ce théorème :

THÉORÈME VI. Si un cône variable de grandeur est constamment tangent à deux autres cônes, de grandeur et de situation invariable, le plan qui contiendra ses lignes de contact avec eux,