ou symétriques par rapport à une troisième sont identiques entre elles ; 2.o mais que si, de deux figures, l’une est identique et l’autre symétrique par rapport à une troisième, elles seront symétriques l’une à l’autre.
Il importe de remarquer qu’il y a des figures égales qui sont à la fois identiques et symétriques l’une à l’autre : ce sont celles qu’une droite partage en deux parties égales symétriquement disposées par rapport à elle ; de telle sorte que cette droite soit perpendiculaire sur le milieu de toute droite qui joindra deux points homologues des deux parties ; c’est, par exemple, le cas du triangle isocèle, et c’est encore le cas d’un quadrilatère formé de deux triangles isocèles, opposés base à base. Le dessein géométral de la façade d’un édifice tout-à-fait régulier est également dans ce cas : l’épreuve d’un tel dessein ne diffère aucunement de la planche d’où elle est tirée. Nous dirons à l’avenir qu’une figure est symétrique par rapport à elle-même, lorsqu’elle se trouvera dans ce cas.
Il importe encore de remarquer que, si l’on décompose deux polygones égaux en triangles, par des diagonales homologues ; suivant que les polygones seront identiques on symétriques, les triangles homologues seront eux-mêmes identiques ou symétriques.
D’après cette dernière remarque le premier des deux problèmes proposés peut être réduit à ce qui suit :
PROBLÈME. Décomposer un triangle donné quelconque en parties symétriques par rapport à elles-mêmes ?
Solution. Du centre du cercle inscrit au triangle soient abaissées des perpendiculaires sur ses côtés, ces perpendiculaires seront égales, et les pieds de deux quelconques seront également distants du sommet de l’angle sur les côtés duquel elles tomberont.
Ces perpendiculaires diviseront donc le triangle en trois quadrilatères dont chacun sera formé de deux triangles isocèles, opposés base à base, et qui conséquemment seront symétriques à eux-mêmes ; le problème sera donc complètement résolu.
Lorsque le triangle dont il s’agit est rectangle, le problème peut
