rapport au premier, se réduit, en dernière analise, au problème suivant :
PROBLÈME. Décomposer un tétraèdre donné quelconque en parties symétriques par rapport à elles-mêmes ?
Solution. Soient les sommets du tétraèdre, et le centre de la sphère inscrite ; de ce centre soient abaissées sur les faces des perpendiculaires dont les pieds soient respectivement par ces perpendiculaires, prises deux à deux, soient fait passés six plans ces plans diviseront le tétraèdre en quatre exaèdres octogones à faces quadrilatères. Bornons-nous à considérer l’un d’eux : celui qui contient le sommet et dont conséquemment les trois arêtes de l’angle opposé sont Nommons les trois sommets non encore désignés ; en sorte que les arêtes soient respectivement opposées à celles que nous venons de nommer.
Menons la diagonale ainsi que les diagonales des faces par la première et par chaeune des autres soient conduits trois plans ; ces plans diviseront l’exaèdre en trois pyramides triangulaires ayant leur sommet commun en et ayant pour bases les trois faces de l’angle Bornons-nous à considérer l’une d’elles : celle dont la base est
et étant les points de contact de la sphère inscrite avec deux des faces du tétraèdre, il s’ensuit d’abord que il s’ensuit en outre que comme tangentes menées à une sphère d’un même point extérieur, et, comme d’ailleurs les deux triangles qui ont le côté commun, sont l’un et l’autre rectangles en il s’ensuit que =c
Ainsi notre pyramide quadrangulaire se trouve être du genre de celles que nous avons signalées plus haut comme étant symétriques elles-mêmes ; et, comme on prouverait la même chose des deux autres, il s’ensuit que notre exaèdre est composé de trois parties symétriques à elles-mêmes ; et, attendu qu’on en peut dire autant des trois autres exaèdres, il en résulte finalement que notre tétraèdre
