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TRIANGLE SPHÉRIQUE.

${\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}}+\operatorname {Cos} .b=0\,;\qquad (2)$

éliminant donc $\operatorname {Cos} .b$ entre cette équation et l’équation (1), il viendra

$\operatorname {d} S=\operatorname {d} A+\operatorname {d} C,$

d’où, en intégrant,

$S=A+C+Const.$

Pour déterminer la constante, on remarquera que, si l’on a $A=\varpi ,$ on aura $C=B$ et $S=2B$ ; d’où

$Const.=B-\varpi ,$

et conséquemment

$S=A+B+C-\varpi ,$

On aurait pu parvenir plus brièvement au but en employant le langage des infiniment petits. On aurait d’abord substitué $\operatorname {d} A$ à $i$ ; on aurait remarqué que $\operatorname {d} S,$ c’est-à-dire, le triangle sphérique $CAC'$ étant infiniment petit, le triangle curviligne $CC'm$ était infiniment petit du second ordre ; qu’ainsi l’on pouvait poser simplement

$\operatorname {d} S=CAm=\operatorname {d} A(1-\operatorname {Cos} .b)\,;$

mais, dans le petit triangle sphérique $CAC'$ où l’angle $C$ est le supplément du même angle de $BAC,$ on a

$\operatorname {Cos} .b={\frac {\operatorname {Cos} .C'-\operatorname {Cos} .\operatorname {d} A\operatorname {Cos} .C}{\operatorname {Sin} .\operatorname {d} A\operatorname {Sin} .C}}.$

Or, on a $\operatorname {Sin} .\operatorname {d} A=\operatorname {d} A,\ \operatorname {Cos} .\operatorname {d} A=1,$ et $C'=C+\operatorname {d} C$ d’où $\operatorname {Cos} .C'$ $=\operatorname {Cos} .C\operatorname {Cos} .\operatorname {d} C-\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .\operatorname {d} C=\operatorname {Cos} .C-\operatorname {d} C\operatorname {Sin} .C\,;$ donc enfin

$\operatorname {Cos} .b=-{\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}},$

ou, en substituant,

$\operatorname {d} S=\operatorname {d} A+\operatorname {d} C,$

comme ci-dessus.