Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/76

70

CALCUL

lettre ou sa puissance, en suivant les règles ordinaires de la différentiation, et en mettant simplement $a_{1}$ pour $\operatorname {D} a,\ a_{2}$ pour $\operatorname {D} a_{1},\ a_{3}$ pour $\operatorname {D} a_{2},\ldots ,$ sans autre coefficient que l’unité ;

2.^o On fera varier de plus (d’après les mêmes règles de la différentiation) l’avant-dernière lettre, sa puissance ou sa fonction, si elle se trouve être la lettre qui, dans l’ordre numérique des indices, précède immédiatement la dernière du terme ; et comme la puissance de la dernière lettre augmente alors d’une unité, on divisera par son exposant ainsi augmenté.

Pour faire une application de cette règle, et pour mieux en faire comprendre l’usage, nous allons déduire le développement de $A_{6}$ de celui de $A_{5}$ [formules (10)].

Le premier terme $\operatorname {D} \phi a.a_{5}$ donne, d’après la première partie de la règle, qui seule y est applicable, $\operatorname {D} \phi a.a_{6}$. Le second terme ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a\left(2a_{1}a_{4}+2a_{2}a_{3}\right)$ donne ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a\left(2a_{1}a_{5}+a_{2}a_{4}+a_{3}^{2}\right),$ dont les deux premiers termes sont dûs à la première partie de la règle, et le dernier à la seconde partie. Le troisième terme ${\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a\left(3a_{1}^{2}a_{3}+3a_{1}a_{2}^{2}\right)$ donne ${\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a\left(3a_{1}^{2}a_{4}+2.3a_{1}a_{3}+a_{2}^{3}\right),$ dont les deux premiers termes d’après la première partie de la règle et le dernier d’après la seconde. Le quatrième terme ${\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}\phi a.4a_{1}^{3}a_{2}$ donne ${\tfrac {1}{24}}\operatorname {D} ^{4}\phi a\left(4a_{1}^{3}a_{4}+{\tfrac {4.3}{2}}a_{1}^{2}a_{2}^{2}\right),$ dont le premier terme d’après la première partie de la règle et le suivant d’après la seconde. Enfin, le terme ${\tfrac {1}{120}}\operatorname {D} ^{5}\phi a.a_{1}^{5}$ donne ${\tfrac {1}{120}}\operatorname {D} ^{5}\phi a.5a_{1}^{4}a_{2},$ d’après la première parue de la règle et ${\tfrac {1}{720}}\operatorname {D} ^{6}\phi a.a_{1}^{6},$ d’après la seconde. En rassemblant tous ces différens termes, on obtient exactement le développement de $A_{6},$ tel que nous l’avons donné [formules (10)].

On voit, d’après cet exemple, que la règle est d’une exécution très-facile, et qu’elle fournit immédiatement les termes successifs du développement, tout ordonnés et réduits à leur plus simple expression, sans qu’on ait, pour ainsi dire, d’autre peine que celle de les écrire. Il est vrai que, jusqu’à présent, cette règle n’est qu’une conclusion d’induction ; mais nous nous proposons de la démontrer dans un des articles suivant. Nous réservons pour le même article