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CALCUL

marquable qui y règne. Elle consiste en ce que $A_{n}$ est composé de $n$ termes, formés des dérivées successives

${\frac {\operatorname {D} \phi a}{1}},\quad {\frac {\operatorname {D^{2}} \phi a}{1.2}},\quad {\frac {\operatorname {D^{3}} \phi a}{1.2.3}},\ldots {\frac {\operatorname {D^{n}} \phi a}{1.2.3\ldots n}},$

dont les coefficiens se composent de la manière suivante : 1.^o le coefficient de ${\frac {\operatorname {D^{r}} \phi a}{1.2.3\ldots r}}$

est composé de tous les produits de $r$ lettres qu’on peut former avec les quantités polynômiales $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}$ de manière que la somme des indices de chaque produit soit $n,$ chaque lettre étant supposée écrite autant de fois qu’il y a d’unités dans son exposant ; 2.^o les coefficiens numériques de chaque produit indiquent le nombre de permutations dont les lettres de ce produit sont susceptibles. Ainsi, le coefficient de ${\frac {\operatorname {D^{3}} \phi a}{1.2.3}}$ dans $A_{6}$ est composé des trois produits $3a_{1}a_{1}a_{4}+2.3a_{1}a_{2}a_{3}+a_{2}a_{2}a_{2}$ qui sont les seuls qu’on peut former avec trois lettres, de manière que la somme des indices dans chacun soit égale à $6$ : leurs coefficiens numériques indiquent, comme on voit, le nombre des permutations dont les lettres qui les composent sont susceptibles.

Cette remarque, traduite en deux règles pratiques, l’une relative à la formation des groupes de lettres, et l’autre relative à celle des coefficiens numériques, d’après la théorie des combinaisons, constitue l’Analise combinatoire des géomètres allemands.

11. Si, au lieu de la fonction d’un polynôme $\phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots \right)$ on avait à développer la fonction $\phi \operatorname {f} (\alpha +x)$ d’une fonction de binôme, il suffirait, d’après le n.^o 5, de substituer, dans les équations (10), ou dans les résultats obtenus par la règle du n.^o 8, pour les quantités polynômiales $a,a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,$ leurs valeurs (2).

Enfin, si l’on avait à développer la fonction d’une fonction de polynôme $\psi \phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots \right),$ on aurait, d’après le même, n.^o 5,

$\psi \phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots \right)$

$=\psi \left(\phi a+\operatorname {D} .\phi a.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a.x^{3}+\ldots \right)\,;$