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QUESTIONS

distance qui les sépare, ou, ce qui revient au même, à la portion de l’axe $\mathrm {OO} '$ interceptée entre elles^[1], et c’est conséquemment en exprimant analitiquement cette propriété que nous parviendrons à l’équation de la surface cherchée.

Soient donc pris l’axe $\mathrm {OO} '$ pour axe des $z,$ son milieu pour origine, et les $z$ positifs du côté de la base supérieure du cube. Soient pris les axes des $x$ et des $y$ respectivement parallèles aux côtés des deux bases de ce cube ; de telle sorte que des deux diagonales inverses, auxquelles doit aboutir la surface cherchée, celle qui appartient à la base supérieure tombe dans les angles des $x$ et $y$ de mêmes signes, tandis que l’autre sera située dans les angles des $x$ et $y$ de signes contraires. Supposons encore que le mouvement de torsion s’exécute des $x$ positifs, vers les $y$ positifs, de manière que la fibre horizontale immobile soit dirigée suivant l’axe des $x.$ Nommons enfin $2a$ l’arête du cube.

La diagonale supérieure, distante du plan des $xy$ de la quantité $a,$ fait avec l’axe des $x$ ou la fibre immobile un angle ${\tfrac {1}{4}}\varpi$ ; mais toute autre fibre horizontale, distante de la quantité $z$ du même plan, fait avec cette même fibre fixe un angle dont la tangente tabulaire est ${\frac {y}{x}}$ ; ainsi, on doit avoir

${\frac {z}{a}}={\frac {\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right)}{{\tfrac {1}{4}}\varpi }}\,;$

c’est-à-dire,

$z={\frac {4a}{\varpi }}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right),$

ou encore

1. Cela revient évidemment à dire que cette surface est celle qu’engendre une droite horizontale, tournant autour de l’un de ses points, d’un mouvement uniforme, tandis que ce point se meut, aussi uniformément dans une direction verticale : c’est la courbe rampante circulaire de M. Monge.
   J. D. G.