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QUESTIONS

l’intégrale de cette équation (A) était le résultat de l’élimination de $\alpha$ et $\beta$ entre les trois équations.

${\begin{alignedat}{2}x&=\varphi '(\alpha )+\psi '(\beta ),&\qquad (1)\\y&=\varphi (\alpha )-\alpha \varphi '(\alpha )+\psi (\beta )-\beta \psi '(\beta ),&(2)\\z&=\int A\varphi ''(\alpha )\operatorname {d} \alpha -\int B\psi ''(\beta )\operatorname {d} \beta \,;&(3)\\\end{alignedat}}$

$\varphi ',\psi ',\varphi '',\psi ''$ désignant des dérivées des deux premiers ordres.

Pour en déduire la forme des fonctions $\varphi$ et $\psi$ qui convient à la surface dont il s’agit, nous remarquerons que la première revient à

$x=\varphi '\left({\frac {pq+{\sqrt {-1-p^{2}-q^{2}}}}{1+q^{2}}}\right)+\psi '\left({\frac {pq-{\sqrt {-1-p^{2}-q^{2}}}}{1+q^{2}}}\right)\,;$

mais nous avons trouvé, d’un autre côté,

$z={\frac {4a}{\varpi }}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right)$

$p=-{\frac {4a}{\varpi }}.{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\qquad q=+{\frac {4a}{\varpi }}.{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},$

d’où l’on voit que, lorsque $x=0,$ on doit avoir $q=0$ ; donc

$0=\varphi '\left({\sqrt {-1-p^{2}}}\right)+\psi '\left(-{\sqrt {-1-p^{2}}}\right),$

ce qui nous apprend que les deux fonctions $\varphi '$ et $\psi '$ sont ici de la même forme ; de sorte que nous pouvons poser

$x=2\varphi '(\alpha )\,;$

les deux racines de l’équation (C) sont donc égales, et conséquemment on doit avoir