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SURFACES

${\frac {x+y\operatorname {Cos} .\gamma +z\operatorname {Cos} .\beta }{a''}}={\frac {y+z\operatorname {Cos} .\alpha +x\operatorname {Cos} .\gamma }{b''}}={\frac {z+x\operatorname {Cos} .\beta +y\operatorname {Cos} .\alpha }{c''}}\,;$

ou encore, en divisant par ${\sqrt {1+M}},$

${\frac {x+y\operatorname {Cos} .\gamma +z\operatorname {Cos} .\beta }{d}}={\frac {y+z\operatorname {Cos} .\alpha +x\operatorname {Cos} .\gamma }{e}}={\frac {z+x\operatorname {Cos} .\beta +y\operatorname {Cos} .\alpha }{f}}\,;$ (8)

équations dans desquelles il ne s’agira plus que de mettre pour $d,e,f,$ les valeurs données par les équations (6, 7).

Tous les calculs que nous venons d’indiquer, toujours, comme on le voit, d’une parfaite symétrie, n’exigent, en quelque sorte, pour leur exécution, que la simple peine d’écrire. Et d’abord, en comparant aux quarrés des équations (7) les produits deux à deux des équations (6), on obtient

${\begin{alignedat}{2}&(A'k+\operatorname {\operatorname {Cos} } .\alpha )^{2}&-(Bk+1)(Ck+1)&=0,\\&(B'k+\operatorname {\operatorname {Cos} } .\beta )^{2}&-(Ck+1)(Ak+1)&=0,\\&(C'k+\operatorname {\operatorname {Cos} } .\gamma )^{2}&-(Ak+1)(Bk+1)&=0,\end{alignedat}}$

en développant et ordonnant

$\left.{\begin{alignedat}{2}(A'^{2}-BC)k^{2}&-(B+C-2A'\operatorname {Cos} .\alpha )k&-\operatorname {Sin} .^{2}\alpha &=0,\\(B'^{2}-CA)k^{2}&-(C+A-2B'\operatorname {Cos} .\beta )k&-\operatorname {Sin} .^{2}\beta &=0,\\(C'^{2}-AB)k^{2}&-(A+B-2C'\operatorname {Cos} .\gamma )k&-\operatorname {Sin} .^{2}\gamma &=0.\end{alignedat}}\right\}\quad$(9)

En éliminant $k$ entre ces équations, prises successivement deux à deux, on obtiendra trois équations de condition dont chacune sera comportée par les deux autres ; et ce sera les équations demandées. En posant, pour abréger,