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FORMULES

${\begin{aligned}&(y+z\operatorname {Cos} .\alpha +x\operatorname {Cos} .\gamma ){\sqrt {\frac {c\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -a\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }{B\left(c'\operatorname {Sin} .^{2}\alpha -a'\operatorname {Sin} .^{2}\gamma \right)}}}=\\&(z+x\operatorname {Cos} .\beta +y\operatorname {Cos} .\alpha ){\sqrt {\frac {a\operatorname {Sin} .^{2}\beta -b\operatorname {Sin} .^{2}\alpha }{C\left(a'\operatorname {Sin} .^{2}\beta -b'\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \right)}}}.\\\end{aligned}}$

En combinant entre elles d’une manière convenable les équations de condition, on pourrait sans doute les remplacer par d’autres d’une forme plus simple, et qui permettraient de présenter ces derniers résultats sous une forme entièrement rationnelle.

Lorsque les coordonnées primitives sont rectangulaires, le calcul s’abrège d’une manière notable ; on a alors

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {Sin} .\alpha &=\operatorname {Sin} .\beta &=\,\operatorname {Sin} .\gamma =&1,\\\operatorname {Cos} .\alpha &=\operatorname {Cos} .\beta &=\operatorname {Cos} .\gamma =&0.\end{alignedat}}$

En conséquence, ks équations (7) deviennent simplement

$ef=A'k,\qquad fd=B'k,\qquad de=C'k.$

En divisant successivement par chacune d’elles le produit des deux autres, il vient

$d^{2}=-{\frac {B'C'}{A'}}k,\quad e^{2}=-{\frac {C'A'}{B'}}k,\quad f^{2}=-{\frac {A'B'}{C'}}k,\qquad$(10)

valeurs qui, égalées à celles qui résultent des équations (6) donnent

$(AA'-B'C')k=A',\quad (BB'-C'A')k=B',\quad (CC'-A'B')k=C'\,;$

d’où, par l’élimination de $k,$

${\frac {AA'-B'C'}{A'}}={\frac {BB'-C'A'}{B'}}={\frac {CC'-A'B'}{C'}}\,;$

et telles seront les équations de condition.

On aura ensuite, par les équations (10)