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À TROIS AUTRES.

7, 8, 9) ; et que conséquemment nous pouvons faire de ces équations, qui ont lieu en même temps, telle combinaison qu’il nous conviendra.

Des équation. (4, 9) on tire

$A={\frac {x(R+r'')}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\qquad B={\frac {y(R+r'')}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,;$

ou plus simplement, en ayant égard à l’équation (1),

$A={\frac {x(R+r'')}{r''}},\qquad B={\frac {y(R+r'')}{r''}}\,;$

substituant ces valeurs dans les équations (7, 8), elles deviendront

${\begin{alignedat}{1}2\left\{a\ x+b\ y-r''(r''-r\ )\right\}(R+r'')=&r''\left\{a\,^{2}+b\,^{2}-(r''-r\ )^{2}\right\},\\2\left\{a'x+b'y-r''(r''-r')\right\}(R+r'')=&r''\left\{a'^{2}+b'^{2}-(r''-r')^{2}\right\},\end{alignedat}}$

d’où l’on tire enfin, par l’élimination de $R+r'',$

${\frac {ax+by-r''(r''-r)}{a^{2}+b^{2}-(r''-r)^{2}}}={\frac {a'x+b'y-r''(r''-r')}{a'^{2}+b'^{2}-(r''-r')^{2}}}.\qquad$(10)

Telle est donc l’équation d’une ligne qui coupe le cercle $c''$ au point cherché $t''\,;$ puis donc que cette équation est du premier degré seulement, la ligne dont il s’agit est une ligne droite.

Mais une ligne droite coupe un cercle en deux points ; et il importe de savoir, avant d’aller plus loin, quels problèmes résoudront ces deux points. Pour cela rappelons-nous que nous avons écrit nos équations primitives dans l’hypothèse que tous les contacts étaient extérieurs, et que nous avons observé que l’on passerait de cette hypothèse aux autres par le simple changement des signes de $r,r',r'',$ ce qui peut avoir lieu de huit manières différentes.