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LOXODROMIE.

${\begin{array}{cr}x^{2}+y^{2}A=f(z),&(\mathrm {I} )\\2x{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}+2y{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}=f'(z),&(\mathrm {II} )\\4f(z).\operatorname {Sin} .^{2}\alpha +\left[f'(z)\right]^{2}=4f(z).\left\{\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} z}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} z}}\right)^{2}\right\}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha .&(\mathrm {III} )\\\end{array}}$

La trajectoire cherchée devant être sur la surface de révolution qui est supposée connue, cette trajectoire se trouvera tout-à-fait déterminée, si l’on connaît seulement sa projection sur le plan des $xy.$ On en obtiendra l’équation différentielle en éliminant $z$ et $\operatorname {d} z$ entre les trois équations ci-dessus, L’élimination de $\operatorname {d} z$ entre les deux dernières donne

$\left(x^{2}+y^{2}\right)\left\{\left(\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}\right)[f'(z)]^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -4(x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y)^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \right\}$

$=(x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y)^{2}[f'(z)]^{2}\,;\qquad$(IV)

mais il est impossible d’éliminer $f'(z),$ tant qu’on n’a pas statué sur la nature de la fonction $f(z)\,;$ du moins en se bornant à des équations du premier ordre.

Il est facile de pressentir que cette équation doit se simplifier en passant aux coordonnées polaires. Soient donc $r$ le rayon vecteur, et $t$ son inclinaison sur l’axe des $x\,;$ nous aurons

$x=r\operatorname {Cos} .t,\qquad y=r\operatorname {Sin} .t\,;$

d’où nous conclurons successivement

$x^{2}+y^{2}=r^{2},$

$\operatorname {d} x=\operatorname {d} r\operatorname {Cos} .t-r\operatorname {d} t\operatorname {Sin} .t,\qquad \operatorname {d} y=\operatorname {d} r\operatorname {Sin} .t+r\operatorname {d} t\operatorname {Cos} .t,$

$\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}=\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} t^{2},\qquad (x\operatorname {d} x+y\operatorname {d} y)^{2}=r^{2}\operatorname {d} r^{2}.$