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LOXODROMIE

${\frac {4{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\int {\frac {\operatorname {d} z}{(a+b)+(a-b)z^{2}}}=-{\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{b}}$

$\int \left\{{\frac {\operatorname {d} z{\sqrt {b-a}}}{{\sqrt {b+a}}+z{\sqrt {b-a}}}}+{\frac {\operatorname {d} z{\sqrt {b-a}}}{{\sqrt {b+a}}-z{\sqrt {b-a}}}}\right\}$

$=-{\frac {2{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}{b}}\times$

$\left\{\operatorname {Log} .\left({\sqrt {b+a}}+z{\sqrt {b-a}}\right)-\operatorname {Log} .\left({\sqrt {b+a}}-z{\sqrt {b-a}}\right)\right\}$

$=-{\frac {2{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}{b}}\operatorname {Log} .{\frac {{\sqrt {b+a}}+z{\sqrt {b-a}}}{{\sqrt {b+a}}-z{\sqrt {b-a}}}}\,;$

en sorte que l’intégrale totale est, pour ce cas,

$A-2t\operatorname {Cot} .\alpha =\operatorname {Log} .{\frac {(1+z)\left\{(b+a)+(b-a)z\right\}}{(1-z)\left\{(b+a)-(b-a)z\right\}}}$

$-{\frac {2{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}{b}}\operatorname {Log} .{\frac {{\sqrt {b+a}}+z{\sqrt {b-a}}}{{\sqrt {b+a}}-z{\sqrt {b-a}}}}$

III.^me Cas. Sphère. Si, dans l’une ou dans l’autre formule, on suppose $a=b,$ on aura le résultat qui convient à la sphère. On obtiendra ainsi

$A-2t\operatorname {Cot} .\alpha =\operatorname {Log} .{\frac {1+z}{1-z}}.$

Il ne s’agit plus présentement que de repasser de $z$ à $y,$ de $y$ à $x$ et de $x$ à $r.$ On tire des relations précédemment établies

$z={\sqrt {\frac {y-(a+b)^{2}}{y-(a-b)^{2}}}}={\sqrt {\frac {x^{2}-(a+b)^{2}}{x^{2}-(a-b)^{2}}}}\,;$

mais on a aussi

$x={\frac {\sqrt {\left(a^{2}-b^{2}\right)r^{2}+b^{4}-b^{2}}}{r}}\,;$

Substituant donc cette valeur dans celle de $z,$ elle deviendra telle qu’elle doit être substituée dans nos formules, pour qu’elles deviennent