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RÉSOLUES.

se trouverait affectée d’un facteur étranger du degré $m,$ qui la multiplierait inévitablement, sans qu’il fût possible de l’en délivrer à priori, par aucun procédé d’élimination ; à moins de changer la forme même des équations primitives, c’est-à-dire, la mise en équation, ou de le supprimer, d’une manière implicite ; dans le résultat final. Ainsi, par exemple, dans le cas particulier qui nous occupe, si, après avoir substitué les valeurs trouvées pour $\alpha ,\beta$ dans l’équation (5), au lieu de réduire de suite, comme nous l’avons fait, tout au même dénominateur, on eût réuni séparément les numérateurs des termes ayant $D^{2}$ pour dénominateur commun, et qui sont les seuls où $x$ et $y$ paraissent entrer au de-là de la seconde puissance ; on eût trouvé que $D$ entre aussi comme facteur dans ce numérateur ; et alors, en le supprimant, on serait nécessairement retombé sur l’équation (s″), à laquelle nous sommes déjà parvenus. Mais on voit qu’en opérant ainsi, on aurait réellement supprimé, à posteriori, un facteur de l’équation finale. Il n’y aurait de différence entre cette manière de procéder et celle que nous avons employée d’abord, qu’en ce qu’on aurait supprimé ce même facteur d’une manière implicite, et sans s’en être rendu aucun compte préalable, comme nous l’avons fait dans l’autre des deux cas dont il s’agit.

Si présentement on fait attention qu’il peut très-bien arriver que le facteur supprimé, par l’effet de l’opération particulière, représente précisément la véritable solution du problème, on devra comprendre que, s’il est des manières de procéder qui abrègent le calcul de l’élimination, il en est aussi qui peuvent par là conduire à des-espèces d’absurdités, en faisant manquer le but réel qu’on se proposait d’atteindre.

Dans les procédés généraux de l’élimination, les réductions partielles dont il vient d’être question ne peuvent plus avoir lieu d’une manière immédiate ; et alors il arrive que les équations finales renferment les facteurs singuliers, d’une manière implicite, qui les compliquent inévitablement. On attribue à l’opération elle-même