Solution. Ou les deux points donnés sont respectivement sur les deux tangentes données, ou bien l’un d’eux seulement est sur une des tangentes, ou bien enfin ils sont tous deux hors de leurs directions, ce qui fait trois cas.
Premier cas. Les deux points donnés étant sur les tangentes données ; par le Lemme 15 ou par le Lemme 16, on déterminera un troisième point ou une troisième tangente, ce qui ramènera le problème au premier cas du Problème 3 ou du Problème 4.
Ce premier cas n’aura jamais qu’une solution, et n’exigera pas l’intervention du compas.
Deuxième cas. L’un des points donnés seulement étant situé sur l’une des tangentes données ; par le Lemme 19 ou par le Lemme 20, on déterminera la tangente par l’autre point ou le point de contact de l’autre tangente ; ce qui ramènera la question au cas précédent.
Ce second cas aura, au plus, deux solutions.
Troisième cas. Enfin, aucun des deux points donnés ne se trouvant sur la direction des tangentes données ; par le Lemme 21 ou par le Lemme 22, on déterminera les points de contact des tangentes données ou les tangentes aux deux points donnés ; ce qui ramènera la question au Problème I ou au Problème II.
Ce troisième cas pourra avoir quatre solutions.
Nous avons donc, en effet, ainsi que nous l’avions promis, complètement résolu ce problème général : Étant donnés points du périmètre d’une parabole et tangentes à cette courbe, déterminer tant d’autres points et tant d’autres tangentes à la courbe qu’on voudra ?
QUESTIONS PROPOSÉES.
Problème de Géométrie.
Décrire une section conique qui touche à la fois cinq sections coniques données, au nombre desquelles peuvent se trouver des points et des droites.
