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QUESTIONS

donné ; et cela par la même raison qui fait que notre arithmétique décimale est propre à exprimer tout nombre entier donné.

On voit de plus que, pour faire toutes les pesées, jusqu’à $10^{n}-1$ inclusivement, on aura besoin de $9n$ poids. Faisant donc $10^{n}-1=m,$ d’où $10^{n}=m+1,$ et par conséquent $n=\operatorname {Log} .(m+1)$ ; le nombre des poids à employer, pour faire toutes les pesées jusqu’à $m$ sera neuf fois le logarithme vulgaire de $m+1.$

En général si l’on a $a-1$ poids d’une unité, $a-1$ poids de $a$ unités, $a-1$ poids de $a^{2}$ unités, et ainsi de suite ; on pourra, avec cet assortiment de poids, faire toutes les pesées en nombre rond, depuis l’unité jusqu’à tel nombre donné qu’on voudra ; et cela par la même raison qui fait qu’on peut exprimer tous les nombres dans tout système de numération analogue au nôtre, quelle qu’en puisse être d’ailleurs la base.

On voit qu’ici, pour faire toutes les pesées jusqu’à $a^{n}-1$ inclusivement, on aura besoin de $(a-1)n$ poids. Faisant donc $x=(a-1)n$ et $a^{n}-1=m,$ d’où $a^{n}=m+1,$ et par conséquent $n={\frac {\operatorname {Log} .(m+1)}{\operatorname {Log} .a}},$ il viendra

$x={\frac {(a-1)\operatorname {Log} .a(m+1)}{\operatorname {Log} .a}}.$

Si l’on veut profiter de l’indétermination de $a$ pour rendre le nombre des poids $x$ le moindre possible, il faudra égaler à zéro la différentielle de

${\frac {(a-1)\operatorname {Log} .(m+1)}{\operatorname {Log} .a}}\,;$

ou plus simplement, puisque $m$ est constant, celle de

${\frac {(a-1)}{\operatorname {Log} .a}}.$

Cela donne