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RECHERCHE DES FOYERS
Le foyer (
) d’une section conique est un point tellement situé que sa distance à un point quelconque de
de la courbe est une fonction rationnelle et entière des coordonnées de ce point.
En partant de là, je crois qu’on peut exposer, très-simplement
et d’une manière générale, la théorie des foyers.
Soit, en effet, l’équation générale du second degré
![{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+2cxy+2a'x+2b'y+d=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa30f65d7e4397c4a820351d4ac3bc22f759d0c7)
rapportée, pour plus de simplicité, à un système de coordonnées
rectangulaires. On aura, d’après cela, pour la distance du point
au point ![{\displaystyle (x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cf50e4a314ca8e2c30964baa8d26e5be7a9386)
![{\displaystyle {\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f103ff71e3100e198dac89e18226479087cbea1d)
si donc l’on veut que le point
soit un foyer, on devra avoir
![{\displaystyle {\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}=gx+hy+k\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4240dc6e2dd54f0f60e97a5267af2dcf744fd627)
et tout se réduira à exprimer que cette équation est identique avec
la proposée, ou du moins qu’elle n’en diffère que par un facteur
constant
il faudra donc déterminer
et
de manière à rendre
identique, quels que soient
et
l’équation
![{\displaystyle (x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}-(gx+hy+k)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/277110e0c4ff70a5628d7214cc50a17fb1d75e37)
![{\displaystyle =\lambda \left(ax^{2}+by^{2}+2cxy+2a'x+2b'y+d\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79c87d1ed555b763680eddf57bf917696f33050)
On obtient ainsi, entre les six inconnues
les six équations suivantes, en nombre suffisant pour les déterminer
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}1-g^{2}&=\lambda a,&-\alpha -kg&=\lambda a',\\1-h^{2}&=\lambda b,&-\beta -kh&=\lambda b',\\-gh&=\lambda c,&\qquad \alpha ^{2}+\beta ^{2}-k^{2}&=\lambda d,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5dab07423e3c7d44e70f0e2e01e8bbec53fa6f2)