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ET DES SURFACES COURBES.

On voit donc que, lorsqu’une courbe à double courbure passe par l’origine, on obtient les équations de sa tangente en ce point, en égalant simplement à zéro, dans les équations de la courbe, ensemble des termes d’une seule dimension par rapport aux coordonnées.

Ayant ainsi la tangente à la courbe ; par l’origine, rien n’est plus facile que d’obtenir son plan normal, par le même point ; l’équation de ce plan sera

$(BC'-CB')x+(CA'-AC')y+(AB'-BA')z=0.\qquad$(3)

Tout plan qui passe par une tangente à une courbe à double courbure est dit tangent à cette courbe ; et toute droite tracée sur

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2},\qquad (\gamma )$

les équations

${\frac {x}{a}}={\frac {y}{b}}={\frac {z}{c}},\qquad (\delta )$

seraient celles d’une sécante quelconque, menée par l’origine, et, serait la longueur de la corde interceptée, à partir de ce point. Mettant ensuite les valeurs $(\alpha )$ dans les équations (1, 1′) et divisant par $r\,;$ elles deviendraient

${\begin{aligned}&0=(A\ \,a+B\ b+C\ c)+\left(D\ bc+E\ ca+F\ ab\,+G\ a^{2}+H\ b^{2}+K\ c^{2}\right)r+\ldots \\&0=(A'a+B'b+C'c)+\left(D'bc+E'ca+F'ab+G'a^{2}+H'b^{2}+K'c^{2}\right)r+\ldots \end{aligned}}$

mais, pour que la sécante devienne tangente, il faut qu’on ait $r=0\,;$ on a donc aussi alors

$Aa+Bb+Cc=0,\qquad A'a+B'b+C'c=0\,;$

équations qui, combinées avec (1), donnent, comme dans le texte,

${\begin{aligned}A\ x+B\ y+C\ z&=0,\\A'x+B'y+C'z&=0.\end{aligned}}$