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ANGLE TRIÈDRE ET TÉTRAÈDRE.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

c’est-à-dire, en prenant respectivement les angles droits dièdre et trièdre pour mesures des angles dièdres et trièdres, un angle trièdre quelconque a pour mesure la somme de ses trois angles dièdres diminuée de deux unités : C’est le théorème de Cavalleri, sur la mesure du triangle sphérique.

IV. Soit présentement $ABCD$ un tétraèdre quelconque. Désignons par $(A),(B),(C),(D)$ les rapports de ses angles trièdres à l’angle droit trièdre, et par $(AB),(AC),(BC),(AD),(BD),(CD)$ les rapports de ses angles dièdres à l’angle dièdre droit ; nous aurons, par ce qui précède,

${\begin{aligned}&(A)=(AB)+(AC)+(AD)-2,\\&(B)=(AB)+(BC)+(BD)-2,\\&(C)=(AC)+(BC)+(CD)-2,\\&(D)=(AD)+(BD)+(CD)-2.\end{aligned}}$

En ajoutant d’abord toutes ces équations et transposant, nous aurons

$2\left\{(AB)+(AC)+(BC)+(AD)+(BD)+(CD)\right\}-(A)-(B)-(C)-(D)=8\,;$

c’est-à-dire, la somme des angles dièdres d’un tétraèdre, moins la somme de ses angles trièdres vaut huit angles droits trièdres, ou l’espace entier.

Si l’on ajoute seulement les trois premières équations, il viendra, en transposant,

$2\left[(AB)+(AC)+(BC)\right]-(A)-(B)-(C)=6-(AD)-(BD)-(CD)\,;$

c’est-à-dire, l’excès de six angles droits trièdres ou des trois quarts de l’espace sur la somme des trois angles dièdres d’un même