185
FONCTIONNEL.
si l’on développe le second membre de cette équation, tous les termes de son développement excepté le dernier
seront divisibles par
de sorte qu’on peut écrire
![{\displaystyle 2^{170}=341k+1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904bd3da42dd00cd8ab293a90c1ba781c3f42b60)
désignant un nombre entier ; or, de là résulte
![{\displaystyle 2^{170}-1=341k\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d1139a0e699f3d6c2736287fd7112c663287bd)
ainsi,
est divisible par
bien que ce nombre ne soit pas premier.
Il est donc certain que l’une des deux formules
et
peut être divisible par le nombre impair
sans que ce nombre
soit premier ; mais il n’en demeure pas moins certain que, lorsque
ce nombre est premier, il divise nécessairement l’une ou l’autre de
ces deux formules ; ce qu’on peut prouver assez simplement comme
il suit.
Soit
un nombre premier quelconque, on aura
![{\displaystyle 2^{p}=(1+1)^{p}=1+{\frac {p}{1}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}+\ldots +{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}+{\frac {p}{1}}+1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc49d67cbff20d5437fb0c7a51863dd4218f8aa)
d’où
![{\displaystyle 2^{p}-2={\frac {p}{1}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {p-2}{3}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/267b732b8b6f12d6f7148e92f2628399b1700699)
![{\displaystyle +{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}.{\frac {p-2}{3}}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}+{\frac {p}{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d433eb48504f71bfaff765af5b2403c26f360c2c)