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ÉQUATIONS

monter ensuite à la valeur de $x$, au moyen des relations établies ci-dessus entre $x,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{n}.$

III. À l’aide de ces relations, la valeur de $x$ peut être développée en fraction continue d’une forme fort élégante. L’équation $4x_{n}^{3}-3x_{n}=a_{n}$ donne, en transposant,

$4x_{n}^{3}=3x_{n}+a_{n}\,;$

mais l’équation $x_{n-1}=2x_{n}^{2}-1\,;$ donne aussi, en transposant,

$2x_{n}^{2}=x_{n-1}+1\,;$

divisant donc la première par la seconde, il viendra

$2x_{n}={\frac {3x_{n}+a_{n}}{x_{n-1}+1}}\,;$

ou, en chassant le dénominateur, réduisant et transposant

$2x_{n}x_{n-1}=x_{n}+a_{n}\,;$

d’où on tire

$2x_{n-1}=1+{\frac {a_{n}}{x_{n}}}=1+{\frac {2a_{n}}{2x_{n}}}\,;$

on aura donc cette suite d’équations

${\begin{aligned}2x\ \ =&1+{\cfrac {2a_{1}}{2x_{1}}},\\2x_{1}=&1+{\cfrac {2a_{2}}{2x_{2}}},\\2x_{2}=&1+{\cfrac {2a_{3}}{2x_{3}}},\\\ldots &\ldots \ldots \\2x_{n-1}=&1+c{\frac {2a_{n}}{2x_{n}}}\,;\end{aligned}}$

d’où on conclura facilement