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SÉRIES
formules dans lesquelles
est le module des tables ; et qui sont très-convergentes, principalement la dernière, toutes les fois que l’angle
est moindre qu’un demi-droit.
II. Si, dans la formule (1), on change successivement
en
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Cos} .z=\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\right),\\&\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}z=\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\right),\\&\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{4}}z=\operatorname {Cos} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\right),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7288445829e119544601eb644358683093f7b3)
En multipliant ces diverses équations membre a membre, on obtiendra, par la suppression des facteurs communs,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .z=\operatorname {Cos} .^{3}{\tfrac {1}{2}}z\operatorname {Cos} .^{3}{\tfrac {1}{4}}z\operatorname {Cos} .^{3}{\tfrac {1}{8}}z\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d92a36db3c9f78d46a94f182f8c7f62dfdf6abd5)
![{\displaystyle \left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\right)\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\right)\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fc7782467fecbeefe722aded9bddd19a23b000b)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{4}}z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{8}}z\ldots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c39866d452a9693bfb376b2ff27dd56111830ef)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {Cos} .^{\tfrac {1}{3}}z}{\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2cfb79981c8e1c0788662f6216a02ea929af09)
substituant cette valeur dans la formule connue
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .z=z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{4}}z\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{8}}z\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c219671609a2c81aa3d87cfca74e61ff296b3a7)
on aura
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .z={\frac {z\operatorname {Cos} .^{\tfrac {1}{3}}z}{\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{2}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{4}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\left(1-\operatorname {Tang} .^{4}{\tfrac {1}{8}}z\right)^{\tfrac {1}{3}}\ldots }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2436b26ed953b60e6d3920e11f6b28fa914cdb3d)
série tout aussi régulière et beaucoup plus convergente.
III. Prenons encore les formules connues