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DÉVELOPPEMENT

$z^{m}{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} a}}={\frac {\operatorname {d} .pU}{\operatorname {d} b}}+{\frac {\operatorname {d} .qU}{\operatorname {d} a}}\,;$

$p,q$ étant des fonctions de $x,x_{1}$, satisfaisant, pour $U,$ aux équations (15), du moins en ce qui concerne $p.$ Avec cette restriction, l’on trouvera, en développant

$z^{m}{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} a}}=U\left(z{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} a}}+{\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} a}}\right)+{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} a}}(zp+q)\,;$

et, comme il suffit de satisfaire à cette equation, nous poserons

$z{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} a}}+{\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} a}}=0,$

$zp+q=z^{m}\,;$

différentiant la seconde par rapport à $a,$ elle se réduira, en vertu de la première, à

$p{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}=mz^{m-1}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}},\quad$d’où$\quad p=mz^{m-1}\,;$

mettant cette valeur de $p$ dans la seconde des équations précédentes ; on trouvera pour $q$

$q=-(m-1)z^{m}\,;$

et l’équation (16) deviendra

$z^{m}{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} a}}=m{\frac {\operatorname {d} .z^{m-1}U}{\operatorname {d} b}}-(m-1){\frac {\operatorname {d} .z^{m}U}{\operatorname {d} a}}\,;$

d’où on conclura