Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1819-1820, Tome 10.djvu/262

254

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS

${\frac {\operatorname {d} ^{m+m_{1}}U}{\operatorname {d} b^{m}\operatorname {d} b_{1}^{m_{1}}}}={\frac {\operatorname {d} ^{m+m_{1}-2}.\left(z^{m}z_{1}^{m_{1}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}U}{\operatorname {d} a\operatorname {d} a_{1}}}+z_{1}^{m_{1}}{\frac {\operatorname {d} .z^{m}}{\operatorname {d} a_{1}}}{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} a}}+z^{m}{\frac {\operatorname {d} .z_{1}^{m_{1}}}{\operatorname {d} a}}{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} a_{1}}}\right)}{\operatorname {d} a^{m-1}\operatorname {d} a_{1}^{m_{1}-1}}}.$(17)

Une fois parvenus à la formule (17), le développement de $U,$ suivant les puissances et produits des puissances de $b,b_{1}$ ne saurait plus offrir aucune difficulté.

Il est aisé de voir, d’après ce qui précède, ce qu’on aurait à faire, si, ayant les trois équations

${\begin{aligned}&x\ =\operatorname {f} \ \,(a\ \,+b\ \,z\ \,),\\&x_{1}=\operatorname {f_{1}} (a_{1}+b_{1}z_{1}),\\&x_{2}=\operatorname {f_{2}} (a_{2}+b_{2}z_{2})\,;\end{aligned}}$

où $z,z_{1},z_{2}$ sont supposés des fonctions quelconques de $x,x_{1},x_{2}$ sans $a,b,a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},$ il s’agissait de développer $U,$ suivant les puissances et produits de puissances de $b,b_{1},b_{2}\,;$ $U$ étant lui-même une fonction de $x,x_{1},x_{2}$ sans $a,b,a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}\,;$ et il en serait de même pour un plus grand nombre d’équations entre un pareil nombre de fonctions.

Nous terminerons par observer que M. Laplace était depuis longtemps parvenu à la formule (17) et à ses analogues ; mais seulement dans la supposition où $b,b_{1}$ devaient, après les différentiations, être faits égaux à zéro ; ce n’est même qu’en admettant cette hypothèse, que M. Lacroix est parvenu aux équations (14) ; voyez son Traité de calcul différentiel et de calcul intégral, deuxième édition, tom. I, pag. 281.