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RATIONNELLES.

${\frac {1}{\left(a+b\omega \right)^{m}}}={\frac {1}{a^{m}}}\left(1-{\frac {m}{1}}{\frac {b}{a}}\omega +{\frac {m}{1}}{\frac {m+1}{2}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\omega ^{2}-{\frac {m}{1}}{\frac {m+1}{2}}{\frac {m+2}{3}}{\frac {b^{3}}{a^{3}}}\omega ^{3}+\ldots \right)$

donc

$A={\frac {1}{a^{m}}},\quad B=-{\frac {m}{1}}{\frac {b}{a}}A,\quad C={\frac {m}{1}}{\frac {m+1}{2}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}A,\ldots$

jusqu’à ce qu’on ait $m$ de ces quantités.

En opérant semblablement sur l’autre facteur $1-p'x,$ et faisant

$a'={\frac {\alpha }{p'}}-{\frac {2\beta }{p'^{2}}},\qquad b'={\frac {\beta }{p'^{2}}},$

la fraction ${\frac {1}{\left(1-\alpha x+\beta x^{2}\right)^{m}}}$ se trouvera décomposée en ces deux suites

${\begin{aligned}&{\frac {1}{a^{m}}}\left\{{\frac {1}{(1-px)^{m}}}-{\frac {m}{1}}{\frac {b}{a}}{\frac {1}{(1-px)^{m-1}}}+{\frac {m}{1}}{\frac {m+1}{2}}{\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {1}{(1-px)^{m-2}}}-\ldots \right\}\\\\+&{\frac {1}{a^{m}}}\left\{{\frac {1}{(1-p'x)^{m}}}-{\frac {m}{1}}{\frac {b'}{a'}}{\frac {1}{(1-p'x)^{m-1}}}+{\frac {m}{1}}{\frac {m+1}{2}}{\frac {b'^{2}}{a'^{2}}}{\frac {1}{(1-p'x)^{m-2}}}-\ldots \right\}\end{aligned}}$

dont chacune doit avoir $m$ termes.

Puisque $\alpha =p+p'$ et $\beta =pp',$ les quantités $a,b,a',b',$ peuvent s’exprimer par le moyen de $p$ et $p'$ seulement ; ainsi on aura

$a={\frac {p-p'}{p}},\quad {\frac {b}{a}}={\frac {p'}{p-p'}},\quad a'={\frac {p'-p}{p'}},\quad {\frac {b'}{a'}}={\frac {p}{p'-p}}.$

3. Si l’on suppose que le développement de la fraction ${\frac {1}{\left(1-\alpha x+\beta x^{2}\right)^{m}}}$ donne la suite récurrente

$1+\theta 'x+\theta ''x^{2}+\theta '''x^{3}+\ldots +\theta ^{(n)}x^{n}+\ldots \,;$

pour en avoir le terme général $\theta ^{(n)},$ on fera, pour abréger,