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À UN TRIANGLE QUELCONQUE.

${\begin{aligned}Ang.\mathrm {FDD} '&=Ang.\mathrm {E} ,\\Ang.\mathrm {DEE} '&=Ang.\mathrm {F} ,\\Ang.\mathrm {EFF} '&=Ang.\mathrm {D} \,;\end{aligned}}$

alors, en vertu de la proportionnalité des côtés homologues des triangles semblables, les longueurs $\mathrm {DD',EE',FF'}$ seront les diamètres des cercles cherchés, ayant respectivement leurs centres en $\mathrm {X,Y,Z.}$

Ces expressions des rayons des cercles une fois trouvées, rien de plus facile que de leur substituer telles autres inconnues qu’on voudra. En prenant, par exemple, pour inconnues les distances des sommets auxquelles les cercles cherchés touchent les côtés du triangle, ces inconnues seront $x\operatorname {Tang} .\alpha =ax,\ y\operatorname {Tang} .\beta =by\ zTang.\gamma =cz,$ et l’on aura

$ax={\frac {aBC}{2A}},\qquad by={\frac {bCA}{2B}},\qquad cz={\frac {cAB}{2C}}.$

Or, d’après les valeurs trouvées ci-dessus pour $cAB$ et $C(A+B-C),$ on a

$cAB=C\left\{2c-(A+B-C)\right\}\,;$

donc

$cz={\frac {cAB}{2C}}={\frac {1}{2}}\left\{2c-(A+B-C)\right\}\,;$

c’est-à-dire,

$cz={\frac {1}{2}}\left(a+b+c-1+{\sqrt {1+c^{2}}}-{\sqrt {1+a^{2}}}-{\sqrt {1+b^{2}}}\right),$

ou encore

$cz={\frac {1}{2}}\left(AB'+BC'-CA'-OC'+OC-OA-OB\right)$