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DES ENGRENAGES.

$\left.{\begin{aligned}&(gy-hx)\operatorname {Sin} .(T+t)+ah\operatorname {Sin} .T\\+&(gx+hy)\operatorname {Cos} .(T+t)-ag\operatorname {Cos} .T\end{aligned}}\right\}=g^{2}+h^{2}.$

Supposons présentement que le rapport des vitesses de rotation soit tel qu’en supposant celle de $S$ uniforme, celle de $S'$ le soit aussi, mais $n$ fois plus rapide ; nous aurons alors $T+t=nt,$ d’où $T=(n-1)t\,;$ notre équation deviendra donc

$\left.{\begin{aligned}&(gy-hx)\operatorname {Sin} .nt+ah\operatorname {Sin} .(n-1)t\\+&(gx+hy)\operatorname {Cos} .nt-ag\operatorname {Cos} .(n-1)t\end{aligned}}\right\}=g^{2}+h^{2}\,;$

sa différentielle, par rapport à $t,$ sera

$\left.{\begin{aligned}&n(gy-hx)\operatorname {Cos} .nt+(n-1)ah\operatorname {Cos} .(n-1)t\\-&n(gx+hy)\operatorname {Sin} .nt+(n-1)ag\operatorname {Cos} .(n-1)t\end{aligned}}\right\}=0\,;$

en joignant ces deux équations, les équations

$\operatorname {Sin} .^{2}nt+\operatorname {Cos} .^{2}nt=1,\qquad \operatorname {Sin} .^{2}(n-1)t+\operatorname {Cos} .^{2}(n-1)t=1,$

on en déduira les valeurs de $\operatorname {Sin} .nt,\ \operatorname {Cos} .nt,\ \operatorname {Sin} .(n-1)t,\$$\operatorname {Cos} .(n-1)t,$ et par suite celles de $\operatorname {Tang} .nt,\ \operatorname {Tang} .(n-1)t.$ En supposant donc qu’on trouve

$\operatorname {Tang} .nt=A,\qquad \operatorname {Tang} .(n-1)t=A',$

ou en conclura

$nt=\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=A),\qquad (n-1)t=\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=A'),$

d’où, en multipliant en croix

$(n-1)\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=A)=n\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=A').$