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PROBLÈME

Soit $a$ la longueur de la perpendiculaire commune aux deux axes ${\rm {P,P',}}$ et soient ${\rm {O,O',}}$ respectivement, les points de ces axes où elle se termine. Soit, de plus, $\alpha$ l’angle des deux axes.

Rapportons la surface fixe cherchée $S$ à des coordonnées rectangulaires, $x,y,z,$ immobiles dans l’espace ; en prenant, pour plus de simplicité ; l’axe ${\rm {P}}$ pour l’axe des $z,$ et le point ${\rm {O}}$ pour origine ; sans rien statuer d’ailleurs sur la direction des deux autres axes.

Dans le mouvement de l’axe ${\rm {P'}}$ autour de l’axe ${\rm {P,}}$ le point ${\rm {O'}}$ décrira, sur le plan des $xy,$ un cercle ayant l’origine ${\rm {O}}$ pour centre et la longueur $a$ pour rayon. Il percera constamment le plan des $xy$ en quelque point de cette circonférence ; et si l’on désigne par $t$ l’angle que fait avec l’axe des $x$ la perpendiculaire commune $a$ pour une époque quelconque, les équations du point ${\rm {O'}}$ seront, pour cette époque,

$x=a\operatorname {Cos} .t,\qquad y=a\operatorname {Sin} .t.$

Quant à l’axe ${\rm {P',}}$ puisqu’il passe par ce point, qu’il est constamment perpendiculaire à $a,$ et qu’il fait continuellement un angle $\alpha$ avec l’axe ${\rm {P}}$ ou l’axe des $z,$ ses équations, pour la même époque, seront,

${\begin{aligned}&x=a\operatorname {Cos} .t-z\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Sin} .t,\\&y=a\operatorname {Sin} .t+z\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Cos} .t.\end{aligned}}$

Si, dans la vue d’obtenir la surface courbe, lieu de l’axe ${\rm {P',}}$ dans toutes ses positions autour de l’axe ${\rm {P,}}$ on élimine $t$ entre ces deux équations, il viendra

$x^{2}+y^{2}=a^{2}+z^{2}\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \,;$

équation d’une hyperboloïde de révolution à une nappe, ainsi cela doit être.