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NATURE DES RACINES

$5x^{2}-3=0\,;\quad \qquad \qquad (\mathrm {X} '=0)$

en éliminant $x$ entre cette dérivée et l’équation

$10x^{3}-18x+7=y,\qquad (\mathrm {X} =y)$

on aura d’abord l’équation du premier degré en $x$

$12x+y-7=0\,;$

et l’équation aux sommets sera

$5y^{2}-70y-187=0.\qquad (\mathrm {Y} =0)$

Cette dernière doit (IV) avoir le même nombre de racines réelles que $(\mathrm {X} '=0)\,;$ et nous savons déjà (Exemp. I) que celle-ci en a deux ; donc l’autre en aura deux aussi ; et par conséquent (III), on peut assigner la limite inférieure de chacune d’elles^[1]. On trouve pour l’une et l’autre limites $+16$ et $-3$ qui, substituées pour $y$ dans l’équation en $x,$ donnent à peu près $-0{,}75,\ +0{,}83$. Ainsi, aux deux sommets de la courbe parabolique $(\mathrm {X} =y),$ on a, à peu près,

$\left\{{\begin{aligned}&x=-\ \ 0{,}75,\\&y=+16{,}00\,;\end{aligned}}\right.\qquad \left\{{\begin{aligned}&x=+0{,}83,\\&y=-3{,}00\,;\end{aligned}}\right.$

on a de plus pour $x=0,\ y=+7\,;$ d’où l’on voit que la courbe parabolique a l’un de ses sommets dans l’angle des $x$ négatifs et des $y$ positifs, et l’autre dans l’angle des $x$ positifs et des $y$ négatifs ; et que l’arc de courbe qui va de l’un à l’autre coupe l’axe des $y$

1. Nous prévenons ici, une fois pour toutes, que, suivant l’usage général, lorsque deux nombres seront de signes contraires, nous considérerons constamment comme le plus grand celui des deux qui sera positif.