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QUESTIONS

${\begin{aligned}&x=\mathrm {\alpha +\beta {\sqrt {\frac {AC'}{BC'}}}+\gamma {\sqrt {\frac {AB'}{CB'}}},} \\\\&y=\mathrm {\beta +\gamma {\sqrt {\frac {BA'}{CA'}}}+\alpha {\sqrt {\frac {BC'}{AC'}}},} \\\\&z=\mathrm {\gamma +\alpha {\sqrt {\frac {CB'}{AB'}}}+\beta {\sqrt {\frac {CA'}{BA'}}}.} \\\end{aligned}}$

Si, présentement, sur les trois côtés du triangle donné, pris successivement comme diamètres, on décrit trois demi-cercles, et qu’on prolonge respectivement les perpendiculaires $\mathrm {AA',BB',CC',}$ jusqu’à la rencontre de leurs circonférences en $\mathrm {A'',B'',C''} \,;$ en menant $\mathrm {BA'',CA'',CB'',AB'',AC''} ,$$\mathrm {BC''} ,$ par la propriété des cordes inscrites aux demi-cercles, on aura

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {AC'}{BC'}}=\left({\frac {AC''}{BC''}}\right)^{2}} ,\\&\mathrm {{\frac {BA'}{CA'}}=\left({\frac {BA''}{CA''}}\right)^{2}} ,\\&\mathrm {{\frac {CB'}{AB'}}=\left({\frac {CB''}{AB''}}\right)^{2}} \,;\\\end{aligned}}\right\}\quad {\rm {{d'o{\grave {u}}}\quad \left\{{\begin{aligned}&\mathrm {{\frac {BC'}{AC'}}=\left({\frac {BC''}{AC''}}\right)^{2}} ,\\&\mathrm {{\frac {CA'}{BA'}}=\left({\frac {CA''}{BA''}}\right)^{2}} ,\\&\mathrm {{\frac {AB'}{CB'}}=\left({\frac {AB''}{CB''}}\right)^{2}} \,;\\\end{aligned}}\right.}}$

substituant donc, il viendra finalement

${\begin{aligned}&x=\mathrm {\alpha +\beta {\frac {AC''}{BC''}}+\gamma {\frac {AB''}{CB''}},} \\\\&y=\mathrm {\beta +\gamma {\frac {BA''}{CA''}}+\alpha {\frac {BC''}{AC''}},} \\\end{aligned}}$