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DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES

Maintenant, représentons en général par $A_{r,s}$ la valeur de

${\frac {1}{r!s!}}{\frac {\operatorname {d} ^{r+s}u}{\operatorname {d} x^{r}\operatorname {d} z^{s}}},$

lorsqu’après les différentiations on y suppose $x$ et $z$ nuls. On aura d’abord

${\begin{aligned}u=A_{0,0}+A_{1,0}x+A_{2,0}x^{2}+\ldots &\\+A_{0,1}z+A_{1,1}zx+\ldots &\\+A_{0,2}z^{2}+\ldots &\end{aligned}}$

et ensuite, on tirera des équations (5), (6), (7), (8) les formule suivantes

$rA_{r,s}=\Sigma \left\{m\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r-1,s}}{\operatorname {d} a_{m-1,n}}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r-1,s}}{\operatorname {d} b_{m-1,n}}}\right)\right\},\qquad$(9)

$sA_{r,s}=\Sigma \left\{n\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r,s-1}}{\operatorname {d} a_{m,n-1}}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r,s-1}}{\operatorname {d} b_{m,n-1}}}\right)\right\},\qquad$(10)

${\frac {\operatorname {d} A_{f+h,g+k}}{\operatorname {d} a_{p+h,q+k}}}={\frac {\operatorname {d} A_{f,g}}{\operatorname {d} a_{p,q}}},\qquad$(11)

${\frac {\operatorname {d} A_{f+h,g+k}}{\operatorname {d} b_{p+h,q+k}}}={\frac {\operatorname {d} A_{f,g}}{\operatorname {d} b_{p,q}}}\,;\qquad$(12)

au moyen des relations données par les équations (11), (12) on pourra donner une infinité de formes différentes aux formules (9), (10) : nous nous contenterons de rapporter les principales, qui sont

$rA_{r,s}=\Sigma \left\{m\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r-m,s-n}}{\operatorname {d} a_{0,0}}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r-m,s-n}}{\operatorname {d} b_{0,0}}}\right)\right\},\qquad$(13)

$sA_{r,s}=\Sigma \left\{n\left(a_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r-m,s-n}}{\operatorname {d} a_{0,0}}}+b_{m,n}{\frac {\operatorname {d} A_{r-m,s-n}}{\operatorname {d} b_{0,0}}}\right)\right\},\qquad$(14)