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RETOUR DES SUITES

${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=b_{1}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}}+2b_{2}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{1}}}+3b_{3}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{2}}}+4b_{4}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{3}}}+\ldots$

mettant, dans cette dernière équation, au lieu de ${\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a}},$ sa valeur tirée de l’équation (4), et multipliant par $a_{1},$ on la changera en celle-ci

${\begin{aligned}a_{1}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}=b_{1}+2a_{1}b_{2}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{1}}}+3a_{1}b_{3}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} b_{2}}}+\ldots &\\+2b_{1}a_{2}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{1}}}+3b_{1}a_{3}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} a_{2}}}+\ldots &\end{aligned}}$

Supposant ensuite

$z=C_{1}x+C_{2}x^{2}+C_{3}x^{3}+C_{4}x^{4}+\ldots$

et mettant cette valeur dans la formule précédente ; on trouvera d’abord

$a_{1}C_{1}=b_{1},$

et ensuite, en général,

$\left.{\begin{aligned}na_{1}C_{n}=2a_{1}b_{2}{\frac {\operatorname {d} C_{n-1}}{\operatorname {d} b_{1}}}+3a_{1}b_{3}{\frac {\operatorname {d} C_{n-1}}{\operatorname {d} b_{2}}}+4a_{1}b_{4}{\frac {\operatorname {d} C_{n-1}}{\operatorname {d} b_{3}}}+\ldots &\\+2b_{1}a_{2}{\frac {\operatorname {d} C_{n-1}}{\operatorname {d} a_{1}}}+3b_{1}a_{3}{\frac {\operatorname {d} C_{n-1}}{\operatorname {d} a_{2}}}+4b_{1}a_{4}{\frac {\operatorname {d} C_{n-1}}{\operatorname {d} a_{3}}}+\ldots &\end{aligned}}\right\}$(7)

pour la loi qui lie les coefficiens de deux puissances quelconques consécutives de $x,$ dans le développement de $z.$

Si dans l’équation

$z^{n}=-n{\frac {\operatorname {d} \int z\operatorname {d} a}{\operatorname {d} a_{n-1}}},$

on met pour $\operatorname {d} a$ sa valeur

$\operatorname {d} x\left(b_{1}+2b_{2}x+3b_{3}x^{2}+4b_{4}x^{3}+\ldots \right),$