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ÉQUILIBRE

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

mais, par le théorème de M. Carnot^[1], on a

$f^{2}+f'^{2}+f''^{2}-2f'f''\operatorname {Cos} .(f',f'')-2f''f\operatorname {Cos} .(f'',f)-2ff'\operatorname {Cos} .(f,f')=f'''^{2}$

${\begin{array}{ll}f\ \ -f'\,\operatorname {Cos} .(f,f'\ \ )-f''\operatorname {Cos} .(f'',f)&=f'''\operatorname {Cos} .(f,f'''),\\f'\,-f''\operatorname {Cos} .(f',f'')-f\operatorname {Cos} .(f,f')&=f'''\operatorname {Cos} .(f',f'''),\\f''-f\ \ \operatorname {Cos} .(f'',f\ )-f'\operatorname {Cos} .(f',f'')&=f'''\operatorname {Cos} .(f'',f''').\\\end{array}}$

substituant donc, il viendra

${\begin{alignedat}{2}&r^{2}&=&\lambda ^{2}f'''^{2}=p'''^{2}\,;\\&\operatorname {Cos} .\theta &=&{\frac {\lambda }{r}}f'''\operatorname {Cos} .(f,f''')&=-\operatorname {Cos} .(p,p'''),\\&\operatorname {Cos} .\theta '&=&{\frac {\lambda }{r}}f'''\operatorname {Cos} .(f',f''')&=-\operatorname {Cos} .(p',p'''),\\&\operatorname {Cos} .\theta '''&=&{\frac {\lambda }{r}}f'''\operatorname {Cos} .(f'',f''')&=-\operatorname {Cos} .(p'',p''').\end{alignedat}}$

La résultante $r$ des trois forces $p,p',p''$ est donc égale à $p'''$, et dirigée suivant la même droite ; et comme il est d’ailleurs évident qu’elle agit en sens contraire de $r,$ il s’ensuit que les quatre forces $p,p',p'',p'''$ sont en équilibre.

On étendrait sans peine cette proposition et le calcul qui l’appuie à un polyèdre quelconque ; mais ici la difficulté consiste en ce que, en général, les perpendiculaires menées aux plans des faces

1. Voyez les pages 139, 140 du II.^e volume du présent recueil.