ou régions différentes. Chacune de ces régions correspond à une combinaison différente de signes, dont le nombre est ici
Si l’on considère le nombre des variations ; on voit que, quand l’origine est dans l’espace il y a trois variations dans l’équation ; que, quand elle est dans l’espace il y a deux variations ; qu’il y en a une seule, quand cette origine est dans l’espace ; qu’enfin il n’y en a aucune, quand elle est dans l’espace
Pour le 4.me degré, le nombre des combinaisons de signes est En général, il est C’est la somme des coefficiens du développement de
On sent bien que les racines imaginaires changent la figure des courbes et la position de l’axe ; mais elles ne détruisent pas les conséquences que nous voulons en tirer.
Les équations peuvent avoir des racines imaginaires, en sorte que quelques-unes des lettres manquent ; ce qui diminue le nombre des régions et par conséquent celui des combinaisons de signes qu’admet la proposée par la transformation de l’origine. Par exemple, si, la proposée étant du 3.me degré, les sommets sont réels ; et si l’axe ne rencontre qu’une branche ; au lieu de combinaisons de signes, il n’y en aura plus que seulement ; parce que les points manqueront. Si les sommets ne sont pas réels, il n’y aura plus que, combinaisons de signes ; parce que les lettres n’existeront plus.
Après avoir trouvé la loi des coefficiens dans les transformées successives, il reste à chercher celle de la série
On voit que cette loi doit dépendre, jusqu’à un certain point,
