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PROBLÈMES DU CONCOURS

$a^{2}z^{2}+2a^{2}z\operatorname {Cos} .\gamma -b^{2}=0\,;$

d’où

$z={\frac {-a\operatorname {Cos} .\gamma \pm {\sqrt {b^{2}+a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\gamma }}}{a}}.$

En formant le lozange $\mathrm {ODPE,}$ abaissant la perpendiculaire $\mathrm {EC}$ sur $\mathrm {OD,}$ prolongeant $\mathrm {CE}$ vers $\mathrm {E} ,$ jusqu’en $\mathrm {F} ,$ de manière que $\mathrm {CF} =b\,;$ faisant $\mathrm {OC} =c,\ \mathrm {OF} =d,$ on aura

$c=a\operatorname {Cos} .\gamma ,\qquad d={\sqrt {b^{2}+a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\gamma }},$

et conséquemment

$z={\frac {-c\pm d}{a}}=\pm {\frac {d\mp c}{a}}\,;$

décrivant donc du point $\mathrm {O}$ comme centre, et avec $\mathrm {OF}$ pour rayon, le demi-cercle $\mathrm {GFG',}$ nous aurons

$\mathrm {CG} =d-c,\qquad \mathrm {CG} '=d+c\,;$

de sorte que les deux valeurs de $z$ seront,

$z=+{\frac {\mathrm {CG} }{a}},\qquad z=-{\frac {\mathrm {CG} '}{a}}\,;$

mais l’équation $M+{\frac {1}{M}}=z,$ qui revient à

$M^{2}-zM+1=0,$

donne

$M={\frac {z\pm {\sqrt {z^{2}-4}}}{2}}\,;$

substituant donc successivement ces deux valeurs, nous aurons