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INTÉGRATION

$0=\left\{\left[A\left(1-x^{2}\right)+2Bx^{2}\right]+Bxy\right\}+\left\{\left[A'\left(1-x^{2}\right)+2B'x^{2}\right]+B'xy\right\}c\,;$

ou encore

$0=\left\{(A+A'c)\left(1-x^{2}\right)+2(B+B'c)x^{2}\right\}+(B+B'c)xy\,;$

ou enfin

$0=\left\{{\frac {(A+A'c)}{(B+B'c)}}\left(1-x^{2}\right)+2x^{2}\right\}+xy\,;$

d’où l’on voit qu’il n’y a plus proprement qu’une seule constante ${\frac {(A+A'c)}{(B+B'c)}}$ ; en la représentant par $C$ l’équation deviendra simplement

$0=\left\{2x^{2}+C\left(1-x^{2}\right)\right\}+xy\,;$

d’où

$y=-{\frac {2x^{2}+C\left(1-x^{2}\right)}{x}}\,;$

qui est en effet l’intégrale de l’équation différentielle proposée, comme il est facile de s’en convaincre, par la différentiation et l’élimination de la constante $C.$^[1]

1. On peut faire, contre cette méthode, l’objection très grave, à ce qu’il nous paraît, que le procédé employé pour intégrer les équations du second ordre en $p$ et $q,$ pouvait tout aussi bien, et sans tant de circuit, être immédiatement appliqué à l’équation proposée du premier ordre seulement en $y$ ; mais peut-être tout ceci n’est-il encore qu’un provisoire ? peut-être M. Kramp, étendant sa théorie, comme il paraît en avoir le dessein, aux équations des ordres supérieurs, nous enseignera-t-il dans quelque mémoire subséquent, à intégrer généralement et rigoureusement les équations de la forme
   $G{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}+H{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+k=0,$