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CONCOURS
cette trace avec
et
le pied de la perpendiculaire abaissée de
sur
l’angle générateur du cône ; et enfin
la
longueur
Soit pris le plan coupant pour celui des coordonnées rectangulaires ;
étant l’axe des
et le point
l’origine ; et les
positives étant
comptées de
vers
Soient, en conséquence
et
Les triangles rectangles
donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {PG} &=\mathrm {AP} \operatorname {Tang} .\alpha =x\operatorname {Tang} .\alpha ,\\\mathrm {PH} &=\mathrm {BP} \operatorname {Tang} .\alpha =(2a+x)\operatorname {Tang} .\alpha \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/004cad89d9110d1f6f65e4eda36dd98493d1d62d)
mais on a
![{\displaystyle {\overline {\mathrm {MP} }}^{2}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c9f5f83547681e7e8a8fe9401b6d200af06686)
ou
![{\displaystyle \quad y^{2}=\mathrm {PG.PH} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0ae0520940405518558f03365de331cf0aca4f)
donc
![{\displaystyle y^{2}=\left(2ax+x^{2}\right)\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f03c4bb42fe1f62ea45634c594cbcde471330f)
telle est donc l’équation de la courbe, que l’on reconnaît être une hyperbole.
Si l’on veut transporter l’origine en
il faudra changer
en
et l’équation deviendra
![{\displaystyle y^{2}=\left(x^{2}-a^{2}\right)\operatorname {Tang} .^{2}\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7073ef343f7ee1427a1aa12b92ca56ac47e9f6fb)
équation d’une hyperbole rapportée à ses diamètres principaux, et dans laquelle le demi-second axe a pour longueur ![{\displaystyle a\operatorname {Tang} .\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044d8405cfeaa44282b864d30c76754ae1a7f0e0)
Donc, d’après les théories connues, l’équation commune aux
deux asymptotes de la courbe est
![{\displaystyle y=\pm x\operatorname {Tang} .\alpha \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeba305aa5f1fe7c933b186790332c8eb539f494)
ces asymptotes font donc, pour toutes les sections parallèles à