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DE COMBINAISON.

En conséquence, le nombre total des systèmes de décompositions en quatre parts sera

$4^{m}-4.3^{m}+6.2^{m}-4\,;$

bien entendu que ces systèmes ne différeront, $24$ à $24,$ que par les rangs respectifs des quatre mêmes parts.

Un raisonnement tout-à-fait semblable prouvera que le nombre total des systèmes de décomposition en cinq parts est la somme des nombres

${\begin{array}{ll}+\quad (4+1)^{m}-4^{m}-1&=5^{m}-4^{m}\qquad \qquad \qquad \,-1,\\-4\left[(3+1)^{m}-3^{m}-1\right]&=\quad -4.4^{m}+4.3^{m}\quad \qquad +4,\\+6\left[(2+1)^{m}-2^{m}-1\right]&=\qquad \qquad +6.3^{m}-6.2^{m}-6,\\-4\left[(1+1)^{m}-1-1\right]&=\quad \qquad \qquad \qquad -4.2^{m}\ +8\,;\end{array}}$

c’est-à-dire, que le nombre de ces systèmes est

$5^{m}-5.4^{m}+10.3^{m}-10.2^{m}+5.$

On trouvera pareillement que, pour le cas de la répartition en six parts, le nombre des systèmes est

$6^{m}-6.5^{m}+15.4^{m}-20.3^{m}+15.2^{m}-6\,;$

et ainsi de suite.

Rapprochons présentement les uns des autres ces divers résultats. Nous voyons que, suivant le nombre des parts que l’on veut faire, le nombre des systèmes de répartition possibles est, savoir ;