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DE COMBINAISON.
![{\displaystyle n^{2}-{\tfrac {n}{1}}.(n-1)^{2}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-2)^{2}-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}(n-3)^{2}+\ldots \pm n=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56623b0afb3bd75e12613cc4b7c792dc6455b8d6)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
![{\displaystyle n^{n-1}-{\tfrac {n}{1}}.(n-1)^{n-1}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-2)^{n-1}-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}(n-3)^{n-1}+\ldots \pm n=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324d97eb8576a3835ee01fe117e11c85c4006fd6)
![{\displaystyle n^{n}-{\tfrac {n}{1}}.(n-1)^{n}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-2)^{n}-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}(n-3)^{n}+\ldots \pm n=1.2.3\ldots n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0854a0c9dd54ec7712fa573bdaea73dac9a1ff26)
Nous croyons devoir consigner ici ces diverses relations, qui d’ailleurs se vérifient parfaitement, dans les cas particuliers, parce que souvent elles peuvent être utilement employées, comme moyens de réduction[1]. Elles peuvent aussi, dans certains cas, faciliter des éliminations.
Que, par exemple, il faille tirer la valeur de
des quatre équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}4t+4^{2}u+4^{3}\nu +4^{4}x=A,\\3t+3^{2}u+3^{3}\nu +3^{4}x=B,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53befc2be3c8ca48b53e6166bf172fffff1f710c)
- ↑ Elles sont du genre de celle donnée par M. Sarrus, à la page 222 du
précédent volume, et on peut, comme par rapport à celle-là, se demander
si elles auraient lieu encore dans le cas où
serait fractionnaire ou négatif. On
peut, au surplus, de leur combinaison, en déduire une infinité d’autres. Si,
par exemple, on en prend la somme, on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\left[n^{n}-1\right]-{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{n-2}}\left[(n-1)^{n}-1\right]+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{n-3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb42778536011ffaf6f40ebfab77f395043a79c9)
![{\displaystyle \left[(n-2)^{n}-1\right]-\ldots \pm n^{2}=1.2.3\ldots n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e2520bbd45376a18c0da12141d43202241ad10)
J. D. G.