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DE COMBINAISON.

$n^{2}-{\tfrac {n}{1}}.(n-1)^{2}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-2)^{2}-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}(n-3)^{2}+\ldots \pm n=0,$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

$n^{n-1}-{\tfrac {n}{1}}.(n-1)^{n-1}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-2)^{n-1}-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}(n-3)^{n-1}+\ldots \pm n=0,$

$n^{n}-{\tfrac {n}{1}}.(n-1)^{n}+{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}(n-2)^{n}-{\tfrac {n}{1}}.{\tfrac {n-1}{2}}.{\tfrac {n-2}{3}}(n-3)^{n}+\ldots \pm n=1.2.3\ldots n.$

Nous croyons devoir consigner ici ces diverses relations, qui d’ailleurs se vérifient parfaitement, dans les cas particuliers, parce que souvent elles peuvent être utilement employées, comme moyens de réduction^[1]. Elles peuvent aussi, dans certains cas, faciliter des éliminations.

Que, par exemple, il faille tirer la valeur de $x$ des quatre équations

${\begin{aligned}4t+4^{2}u+4^{3}\nu +4^{4}x=A,\\3t+3^{2}u+3^{3}\nu +3^{4}x=B,\\\end{aligned}}$

1. Elles sont du genre de celle donnée par M. Sarrus, à la page 222 du précédent volume, et on peut, comme par rapport à celle-là, se demander si elles auraient lieu encore dans le cas où $n$ serait fractionnaire ou négatif. On peut, au surplus, de leur combinaison, en déduire une infinité d’autres. Si, par exemple, on en prend la somme, on aura
   ${\frac {1}{n-1}}\left[n^{n}-1\right]-{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{n-2}}\left[(n-1)^{n}-1\right]+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{n-3}}$
   $\left[(n-2)^{n}-1\right]-\ldots \pm n^{2}=1.2.3\ldots n.$
   J. D. G.