Démonstration. Soient le centre de la sphère, le sommet d’un cône circonscrit, un quelconque des points du plan de la ligne de contact, et le point de la droite où elle est coupée par le plan conduit par perpendiculairement à cette droite. En concevant un plan par on se trouvera exactement dans le cas des figures 1, 2 ; on démontrera donc, comme, nous l’avons fait (5), que les points sont deux pôles conjugués, et que, conséquemment, le point est (26) le pôle du plan conduit par perpendiculairement à
29. THÉORÈME. La polaire conjuguée d’une droite est la commune section des plans des lignes de contact de tous les cônes circonscrits à la sphère qui ont leurs sommets sur cette droite ; et, réciproquement, le lieu géométrique des sommets de tous les cônes circonscrits à la sphère, dont les plans des lignes de contact se coupent suivant une droite, est la polaire conjuguée de cette droite.
Démonstration. Une droite étant située d’une manière quelconque par rapport à une sphère, concevons que, par cette droite, on fasse passer arbitrairement deux plans dont les pôles soient respectivement il est aisé de voir (5) que la droite passant par ces deux derniers points, sera (27) la polaire conjuguée de or, le plan de la ligne de contact de tout cône circonscrit à la sphère, dont le sommet sera sur l’un ou l’autre des deux plans passera (28) par ou respectivement, et réciproquement ; d’où il suit que le plan de la ligne de contact de tout cône circonscrit dont le sommet sera à l’intersection de ces deux plans, passera à la fois par et et conséquemment par la polaire conjuguée de et réciproquement.
30. Il est aisé de voir (27) que, lorsqu’un angle dièdre est circonscrit à une sphère, son arête et la sécante qui joint les points de contact de ses faces avec la sphère sont deux polaires conjuguées l’une à l’autre, par rapport à cette sphère. Or, de là résulte évidemment (28) le théorème suivant.
31. THÉORÈME. Les droites qui joignent les deux points de
