Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/200

190

PROBLÈMES.

${\frac {m-1}{3}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {m-1}{3}}-1\right)={\frac {m-2}{2}}.$

6.^o Si enfin $m$ est de la forme $6k+5,$ le nombre des systèmes à deux parts égales sera

${\frac {m-2}{3}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {m-2}{3}}+1\right)={\frac {m-1}{2}}.$

Ainsi, en résumé, le nombre des systèmes à deux parts égales sera,

${\begin{array}{ll}{\text{Si }}m{\text{ est de la forme }}6k\quad ,&\ldots \ldots {\frac {m-4}{2}},\\\\{\text{Si }}m{\text{ est de la forme }}6k\pm 1,&\ldots \ldots {\frac {m-1}{2}},\\\\{\text{Si }}m{\text{ est de la forme }}6k\pm 2,&\ldots \ldots {\frac {m-2}{2}},\\\\{\text{Si }}m{\text{ est de la forme }}6k\pm 3,&\ldots \ldots {\frac {m-3}{2}}.\end{array}}$

En retranchant ces nombres de ceux qui expriment le nombre total des parts, et retranchant en outre une unité, dans le premier et le dernier cas, à raison du système unique dans lequel les trois parts sont égales, on trouvera, pour le nombre des systèmes dans lesquels les trois parts sont inégales

${\begin{array}{lll}m\;{\rm {{{\acute {e}}tant\;de\;la\;forme\;}6k\quad ,}}&\ldots \ldots {\frac {m^{2}}{12}}-{\frac {m-4}{2}}-1&={\frac {m^{2}-6m+12}{12}},\\\\m\;{\rm {{{\acute {e}}tant\;de\;la\;forme\;}6k\pm 1,}}&\ldots \ldots {\frac {m^{2}-1}{12}}-{\frac {m-1}{2}}\quad &={\frac {m^{2}-6m+5}{12}},\\\\m\;{\rm {{{\acute {e}}tant\;de\;la\;forme\;}6k\pm 2,}}&\ldots \ldots {\frac {m^{2}-4}{12}}-{\frac {m-2}{2}}\quad &={\frac {m^{2}-6m+8}{12}},\\\\m\;{\rm {{{\acute {e}}tant\;de\;la\;forme\;}6k\pm 3,}}&\ldots \ldots {\frac {m^{2}+3}{12}}-{\frac {m-3}{2}}-1&={\frac {m^{2}-6m+9}{12}},\end{array}}$