Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1820-1821, Tome 11.djvu/215

205

HYPERBOLE ÉQUILATÈRE.

GÉOMÉTRIE DES COURBES.

Recherches sur la détermination d’une hyperbole
équilatère, au moyen de quatre conditions données ;

Par MM. Brianchon, capitaine d’artillerie, professeur
de mathématiques à l’école d’artillerie de la garde royale,
et Poncelet, capitaine du génie, employé à Metz.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

THÉORÈME I. Dans tout triangle inscrit à une hyperbole équilatère, le point de concours des trois hauteurs est situé sur la courbe.

Démonstration, On sait que, pour tout hexagone ${\rm {ABCDEF}}$ (fig. 1) inscrit à une section conique, les trois points de concours ${\rm {H,I,K,}}$ des côtés opposés sont en ligne droite^[1]. Si donc, la courbe ayant des branches infinies, on suppose que l’hexagone ait deux de ses sommets, comme ${\rm {E,F,}}$ situés à l’infini, le point ${\rm {I,}}$ concours des deux côtés opposés ${\rm {EF,BC,}}$ se trouvera à l’infini ; ce qui revient à dire que ${\rm {BC,HK}}$ seront parallèles.

Maintenant, la courbe étant une hyperbole, il est clair que les deux côtés ${\rm {DE,FA,}}$ adjacens à ${\rm {EF}}$ qui est à l’infini, seront respectivement parallèles aux deux asymptotes, et, partant, seront

1. Voyez, pour les démonstrations géométrique et algébrique de cette propriété, les pages 78 et 381 du IV.^e volume du présent recueil.
   J. D. G.