seront en lignes droites ; or, ces points ne sont qu’au nombre de six seulement ; ils sont donc aux intersections de quatre droites, formant conséquemment un quadrilatère complet ; ces six points sont donc dans un même plan ; ce qui démontre la troisième partie du théorème.
40. À l’avenir, nous appellerons plan de similitude de quatre sphères tout plan qui contiendra six des douze centres de similitude de ces quatre sphères prises deux à deux, sans que ces six points appartiennent aux trois mêmes sphères. Ce plan de similitude sera dit externe, s’il contient les six centres de similitude externes : il sera dit interne, au contraire, s’il contient deux centres de similitude externes seulement, avec quatre centres de similitude internes ; enfin, il sera dit mixte, s’il contient trois centres de chaque sorte. Quatre sphères ont donc, généralement parlant, un plan de similitude externe, trois plans de similitude internes, et quatre plans de similitude mixtes. Il est aisé de voir, au surplus, que chacun de ces huit plans est à la fois homologue par rapport aux quatre sphères, ce qui justifie leur dénomination.
41. Nous appellerons à l’avenir centre radical de deux sphères le centre radical commun de tous les systèmes de deux cercles résultant de la section de ces sphères par des plans passant par la droite qui joint leurs centres. C’est conséquemment (16) un point de la droite qui passe par les centres dont la différence des quarrés des distances à ces centres est égale à la différence des quarrés des rayons des deux sphères.
