successivement deux à deux, se coupent tous trois suivant une même droite, perpendiculaire au plan qui contient leurs centres, laquelle n’est autre chose que l’axe radical des trois sphères.
Démonstration. Si, par les centres des trois sphères, on conçoit un plan, les intersections avec les trois sphères seront trois grands cercles, et ses intersections avec les plans radicaux ne seront autre chose (42) que les axes radicaux de ces trois cercles ; ces axes passeront donc tous trois (21) par un même point qui sera le centre radical de ces trois cercles ; en menant donc, par ce point, l’axe radical des trois sphères, cet axe se trouvera à la fois dans les trois plans, qui conséquemment se couperont suivant cette droite.
46. THÉORÈME. Les tangentes menées à trois sphères de tous les points et des seuls points de leur axe radical sont égales entre elles, ou, en d’autres termes, les cônes circonscrits de même sommet, dont le sommet commun est sur l’axe radical, et qui se terminent à leurs lignes de contact respectives, ont toujours et ont seuls leurs arêtes de même longueur.
Démonstration. Soient les trois sphères. les plans radicaux respectifs de de de se coupant dans l’axe radical pour que les tangentes menées d’un même point à soient de même longueur que la tangente menée de ce point à il sera nécessaire et il suffira (43) que ce point soit à la fois sur les deux plans il devra donc être sur leur commune section, c’est-à-dire (45) sur l’axe radical des trois sphères.
47. THÉORÈME. Les six plans radicaux de quatre sphères, prises successivement deux à deux, et conséquemment les quatre axes radicaux de ces mêmes sphères, prises successivement trois à trois se coupent en un même point.
Démonstration. Soient les quatre sphères dont il s’agit, et soient les axes radicaux respectifs de de de de de plus respectivement les plans radicaux
