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LINÉAIRES.
![{\displaystyle y={\frac {a_{0}}{X_{1}}}+{\frac {a_{1}}{X_{1}}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\operatorname {d} x+{\frac {1}{X_{1}}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\int X_{2}r\operatorname {d} x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/755cd82440c0ddc3ade528f4524bdb21e9d5542c)
![{\displaystyle +{\frac {1}{X_{1}}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\int {\frac {X_{2}s}{Z_{2}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}(Z_{1}y)\right)\operatorname {d} x^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804039458c1999bfb94abe6adc32e67fd164b3af)
représentant ensuite par
la partie indépendante de
, on aura
![{\displaystyle y=U+{\frac {1}{X_{1}1}}\int {\frac {X_{1}}{X_{2}}}\int {\frac {X_{2}s}{Z_{2}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left({\frac {Z_{2}}{Z_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}(Z_{1}U)\right)\operatorname {d} x^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df7a550a0621ff2a4bf7f28c5726d9b09910c96)
On verra facilement que les grandes difficultés attachées à cette
méthode tiennent principalement aux signes d’intégration, lorsque
les fonctions
sont un peu générales ; mais on
trouvera, en même temps, qu’il doit nécessairement y avoir de
ces signes dans l’intégrale complète, qui ne saurait sans cela contenir des constantes arbitraires. Donc, s’il y avait des questions ou
l’on n’eût besoin que d’une intégrale particulière, on parviendrait
bien plus aisément à l’expression de la fonction inconnue, en mettant l’équation sous la forme
![{\displaystyle y={\frac {R}{Q}}-{\frac {1}{QX_{1}}}{\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}\left(X_{1}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e76ab1972ed0a91cc601d583c4b332321caf737a)
dans laquelle
![{\displaystyle X_{1}=e^{\int P\operatorname {d} x}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4dd9a5c118ab7403f3b23396e8cdce5ac39bf90)
en employant alors les notations de Lagrange ; on aurait
![{\displaystyle y={\frac {R}{Q}}-{\frac {1}{QX_{1}}}\left(X_{1}\left({\frac {R}{Q}}\right)'\right)'+{\frac {1}{QX_{1}}}\left(X_{1}\left({\frac {1}{QX_{1}}}\left(X_{1}\left({\frac {R}{Q}}\right)'\right)'\right)'\right)'-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d677d8a068a389a2bb199384a160ed883a4a49)
Il serait facile aussi de présenter un grand nombre de formes