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LINÉAIRES.

par des intégrales définies ; mais ces recherches, comme je l’observerai, sont d’une nature très-particulière ; d’autant plus que la méthode d’Euler exige toujours que les constantes satisfassent à certaines conditions arithmétiques, au défaut desquelles elles ne sont pas applicables.

Il faut observer que l’intégrale précédente devient incomplète lorsque $\alpha =0\,:$ car alors les deux séries sont identiques, et l’intégrée doit par conséquent changer de forme. En effet, on trouve pour ce cas

$y=a_{0}+a_{1}x+\iint \left(be^{\beta x}+ce^{\gamma x}\right)y\operatorname {d} x^{2},$

ce qui introduit nécessairement des puissances de la variable indépendante. Le cas de $\beta =0$ ou de $\gamma =0$ annonce aussi un changement de forme ; car alors l’équation proposée prend la forme très-simple

${\frac {\operatorname {d} \left\{e^{mx}\operatorname {d} \left(e^{(n-m)x}y\right)\right\}}{\operatorname {d} x^{2}}}=ce^{(\gamma +m)x}y,$

ce qui réduit l’intégrale à des séries à simple entrée.

Mais un autre cas donne lieu à des calculs très-compliqués ; savoir : celui de $\beta +\gamma =0$ ou $\gamma =-\beta ,$ pour lequel il s’introduit dans l’intégrale des puissances de la variable indépendante, dont les coefficiens ne se déterminent que par des équations aux différences finies à trois variables. En effet, pour ce cas qui se présente aussi sous la forme,

$y=a_{0}+a_{1}e^{-\alpha x}+b\int e^{-\alpha x}\int e^{\alpha x}\operatorname {Sin} .(\varepsilon x+\delta )y\operatorname {d} x^{2},$

la première des séries que nous avons trouvées devient, abstraction faite du multiplicateur $a_{0},$

$1+{\frac {be^{\beta x}}{\beta (\beta +\alpha )}}+{\frac {b^{2}e^{2\beta x}}{\beta .2\beta (\beta +\alpha )(2\beta +\alpha )}}+\ldots +b^{2m}A_{2m,0,0}e^{2m\beta x}$