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ÉQUATIONS

$\operatorname {f} z$ étant une fonction quelconque linéaire de $z$, et le premier membre étant du premier ordre par rapport à

$\operatorname {D} \left[P_{m-1,n},\operatorname {D} \left[\ldots \operatorname {D} \left[P_{1,n},z\right]\ldots \right]\right].$

On trouve facilement celle-ci, en fonction de $\operatorname {f} z,$ avec une fonction arbitraire de $n-1$ variables ; et, en continuant ainsi, on parvient à la valeur de $z$ en fonction de $\operatorname {f} z,$ avec $m$ fonctions arbitraires. Soit alors

$z=N+\phi (z),$

on trouvera

$z=N+\phi (z)+\phi ^{2}(z)+\ldots$

Il est facile de voir que les quantités $P_{m,n},P_{m-1,n},\ldots$se déterminent d’une infinité de manières différentes, et, par conséquent, donnent lieu à autant de formes différentes ; mais il est impossible de donner des règles générales pour le partage de l’équation, et chaque cas particulier indique, sans difficulté, le parti le plus avantageux que l’on puisse tirer du principe général. Cependant, il existe, dans tous les ordres, une classe d’équations qui donne lieu à des considérations trop étendues pour ne pas les exposer ici.

Soit donc l’équation

$\operatorname {f} z=\phi z\,;$

$\operatorname {f} z$ et $\phi z$ étant des fonctions quelconques linéaires de $z,$ telles seulement que les coefficiens différentiels et les variables indépendantes qui sont contenues dans la première ne doivent pas se trouver dans la seconde. Alors on trouvera facilement qu’il est toujours possible de satisfaire à l’équation par une série de la forme

$A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+A_{3}B_{3}+\ldots$